První část textu, která vyšla v minulém čísle Zpravodaje Odborné vzdělávání v zahraničí, pojednávala o německém školství obecně a zaměřila se na školský systém ve Svobodném státě Sasko, pojetí učebních plánů pro všeobecně vzdělávací gymnázia a kontrolu výsledků vzdělávání v této spolkové zemi. Ve druhé části je pozornost věnována učebnímu plánu matematiky pro všeobecně vzdělávací gymnázium (5. až 12. ročník) a jeho návaznosti na učební plán pro základní školy (1. až 4. ročník). K dispozici bude i přehled tematických okruhů a hodinových dotací matematiky. Vyučování matematiky ve Svobodném státě Sasko – 1. část
Matematika a informatika: učební plán matematiky pro základní školu
Rozpis předmětů pro základní školu
Z obecných cílů matematiky je kromě samozřejmých cílů, jako je počítání do milionu, znalost základních matematických pojmů, schopnost měřit a hodnotit, pozoruhodné uvedení cíle: „Žáci rozvíjejí schopnost matematického modelování, exaktní způsob práce a radost z řešení matematických problémů a poznávání matematických souvislostí v každodenním životě.“
Učivo matematiky je v každém ročníku rozděleno na povinná a volitelná témata, tím se vytváří prostor pro procvičení a hlubší vhled do tématu.
Přehled témat v matematice pro výuku v 1.–4. ročníku základních škol
Matematika a informatika: učební plán matematiky pro všeobecně vzdělávací gymnázium
Požadovaný přínos matematiky ke všeobecnému vzdělání popisuje učební plán. Z tohoto popisu uvedeme pro představu alespoň několik požadavků.
Významným přínosem výuky matematiky k dosažení všeobecného vzdělání je postupné vedení žáků k samostatnému řešení problémů. Přiměřeně vysoká úroveň abstrakce, definice pojmů specifických pro předmět a logické strukturování matematických vět poskytují žákům podporu při analýze problémových situací, při výběru, použití a hodnocení strategií k řešení problémů. Žáci poznávají, že matematika je rezervoár modelů, poskytující možnost popsat, strukturovat a interpretovat fenomény světa. Žáci uvědoměle používají heuristické postupy. Ve výuce matematiky hraje významnou úlohu osvojování si techniky kultury počítání a nácvik adekvátní vyjadřovací schopnosti. Žáci používají stále samostatněji matematický odborný jazyk k popisu a kritické reflexi učiva a k popisu způsobů řešení, k prezentaci pracovních výsledků, ke kritickému hodnocení výroků, k logické argumentaci, odůvodňování a dokazování. Prostřednictvím formálního jazyka poznávají racionální nástroj dokumentace. Vyučovací předmět matematika specificky přispívá k orientaci na hodnoty. Zejména při posuzování řešení, při kritickém hodnocení modelů a postupů, při setkávání se s matematikou v každodenním životě žáci dále rozvíjejí svůj vlastní obraz světa. Žáci se dovedou kriticky ptát na důvody řešení a na postupy řešení i na výroky a řetězce argumentací. Proto se při hodnocení prací přihlíží i k efektivitě řešení a správnosti jazykového vyjadřování.
Učení matematice je učení kumulativní. Upevňování a propojování základních vědomostí i ze vzdálenějších tematických okruhů a předchozích let tvoří pevnou součást výuky.
Způsob přípravy, výběr jazykových a jiných prostředků k výkladu matematického učiva, míru abstrakce a komplexnosti problémů a úloh je třeba vhodnou diferenciací stále přizpůsobovat dané situaci, pokud možno každému žákovi. Přitom je třeba přihlédnout i ke specifice pohlaví a brát zřetel na žáky s migračním pozadím s ohledem na stav jejich komunikačních schopností a na jejich zkušenosti ze země původu.
Výuka matematiky vyžaduje kulturu úloh, jež se vedle práce s formálními úlohami v přiměřeném rozsahu vyznačuje zejména použitím následujících typů úloh:
- objektivně a prakticky uplatnitelné úlohy
- problémové úlohy
- otevřené úlohy
- úlohy spojující základní učivo z různých dílčích oblastí matematiky
- úlohy podporující rozvoj vybraných obecně a oborově didaktických strategií, jako například samostatně organizované učení podporující nácvik vyjadřovacích schopností, podporující hledání různých způsobů řešení a práci s chybami jako stimul učení
- úlohy s možností volby odpovědi (úlohy typu multiple choice)
Úlohy, jež jsou řešeny buď s pomůckami, nebo bez nich, musejí být ve vyváženém poměru. Matematickým úkonům jako počítání zpaměti, odhadům, hrubým výpočtům, zobrazování a interpretaci je třeba průběžně věnovat pozornost.
Moderní výuku matematiky charakterizuje oborově a mediálně didaktické smysluplné užití moderních pomůcek, jež snižují pracné algoritmické činnosti na rozsah nutný pro rozvoj elementárních početních dovedností. Jako pomůcky pro práci ve vyučování, pro řešení domácích úkolů a vypracování kontrolních prací jsou používány:
- tabulky a sbírky vzorců a rovnic bez obšírných vzorových příkladů
- kalkulačky bez grafického displeje (TR) od 5. ročníku, kalkulačky s grafickým displejem (GTR) od 8. ročníku
- matematický software v podobě systémů počítač-algebra (CAS) od 8. ročníku, v podobě dynamických geometrických systémů (DGS) a tabulkových kalkulací (TK)
O výběru potřebného hardwaru pro použití softwaru rozhodne příslušná metodická komise s přihlédnutím k materiálním a školním organizačním podmínkám.
Učení matematice má být učení aktivní a rozumové. Široký prostor je věnován prezentaci a diskusi o postupech řešení a výsledcích. Rovněž učení z chyb, jež se objevují v procesu osvojování, podporuje chápání matematického učiva a vytváření učebních strategií. Žáci se učí chápat, že chyba ve vyučovacím procesu není nic negativního.
Rozdíl oproti České republice: goniometrické rovnice a analytická geometrie
Učivo matematiky je v každém ročníku rozděleno na povinná a volitelná témata, tím se vytváří prostor pro procvičení a hlubší vhled do tématu. Obsahově se kryje, zejména v nižších ročnících, s učivem obvyklým v ČR, existují však rozdíly mezi ročníky. Zvýšený akcent na statistiku a pravděpodobnost, analýzu dat a dějů, výpočetní techniku, nachází časový prostor například tím, že goniometrické rovnice se neprobírají v takovém rozsahu jako v ČR. Rovněž analytická geometrie se zabývá jen vybranými tématy. V obou případech se ale vyučují vždy tak, aby metody řešení typické pro uvedený okruh učiva byly dostatečně probrány a procvičeny. Komplexní čísla nejsou mezi povinnými tématy. Naproti tomu je věnována pozornost posloupnostem a číselným řadám, maticím, vektorovému počtu, v infinitesimálním počtu se řeší i úlohy vyžadující řešení integrálů s parametrem.
Přehled témat v matematice pro výuku v 5.–10. ročníku gymnázia
Výpočetní technika v centru pozornosti ve výuce matematiky
Ve výuce matematiky se zvláštní pozornost věnuje rozvíjení kompetencí žáků v používání výpočetní techniky. Informatika se vyučuje jen v 7. a 8. ročníku. Učební plán však ukládá rozvíjení kompetencí žáků v oblasti výpočetní techniky ve všech předmětech, zejména v matematice a fyzice. Proto je běžné, že žáci při přípravě a prezentaci svých referátů či projektů již od 7. třídy používají internet a počítačové prezentační programy. Úlohy ze všech výše uvedených matematických témat včetně infinitesimálního počtu řeší žáci jak s pomocí programovatelných kalkulátorů, tak bez nich. Při studiu vlastností funkcí se s výhodou používají dynamické programy kalkulátoru. Znalost zpracování dat na kalkulátoru žáci využívají i při zpracování protokolů o měření ve fyzice.
Kapesní kalkulátory, používané i k maturitě, si žáci pořizují v 7. třídě. Typ kalkulátoru stanovuje předmětová komise na základě instrukcí ministerstva školství. Díky hromadné objednávce poskytuje prodejce množstevní slevu na ceně a pořízení kalkulátoru je finančně únosné. Rodiny s tímto výdajem včas počítají.
Jsou stanoveny kompetence, kterých by měl žák v jednotlivých ročnících v ovládání kalkulátorů dosáhnout. Aby žáci nepoužívali kalkulátory k řešení úloh, aniž by znali matematický princip řešení, jsou například zařazovány nejprve úlohy na řešení kvadratických rovnic bez kalkulátorů. Teprve poté se přechází na početně i komplexitou náročnější úlohy, k jejichž řešení je účelné používat program v kalkulátoru umožňující rychlý výpočet kořenů rovnice. Těžiště zadávaných úloh se tak přenáší do oblasti náročnějších zadání vyšší komplexnosti, v nichž je vyřešení kvadratické rovnice již jen rutinou.
Aby nedocházelo k nejasnostem, jak má být popsáno řešení úlohy, do jaké míry má být použit kalkulátor, používají se v zadání úloh slovní fráze s předem dohodnutým (definovaným) významem, tzv. operátory. Žáci si na takováto vymezení postupně zvykají. V závěrečné fázi výuky je dodržení zadání důležité, nedodržení má dva následky – bodovou srážku v hodnocení řešení a časovou tíseň při řešení písemné práce. Písemné práce jsou totiž koncipovány tak, že od žáka vyžadují účelné využívání výpočetní techniky, jinak nestihne vyřešit všechny úlohy v předepsaném časovém limitu. Žák je tak veden k posuzování efektivity zvoleného postupu a k účelnému používání výpočetní techniky.
Pokud si vyučující nepřeje, aby žáci k řešení dané úlohy použili kalkulátory, uvede to v úvodu zadání. Tak je tomu například v již zmíněné centrálně zadávané písemné práci z matematiky, kterou žáci vypracovávají na konci 10. ročníku. Zadání práce je rozděleno do dvou organizačně oddělených částí. V první části jsou úlohy řešeny výhradně bez použití kalkulátorů a v druhé, rovněž časově vymezené, jsou zařazeny úlohy vyšší komplexnosti, u nichž se předpokládá, že žáci při řešení kalkulátory použijí.
Používání tabulek jako práce s informačním zdrojem
Používání MFCH tabulek v matematice je samozřejmostí. Je považováno za práci s informačním zdrojem. Jejich používání je povoleno i při písemných pracích a zadání úloh s tím počítá. Žákům jsou doporučeny ke koupi tabulky, jejichž použití bude povoleno i při maturitních zkouškách. V Sasku používané tabulky se od MFCH tabulek používaných v České republice liší. Obsahují i část pro biologii a část pro informatiku, jsou více zaměřené na přehled používaných vztahů, symbolů a významných číselných hodnot. Neobsahují rozsáhlé logaritmické tabulky a jsou přehlednější.
Příklad zpracování tematického plánu
(podle Lehrpläne allgemeinen bildender Schulen Freistaat Sachsen)
V záhlaví tabulky je uvedeno téma (Lernbereich) a orientační počet hodin (55 Ustd.). V levém sloupci jsou části učiva uvedeného tématu. V pravém sloupci jsou uvedeny typy úloh a tam, kde je to účelné, jsou uvedeny i vazby na učivo v jiných předmětech v ročníku, případně i v předchozích ročnících.
Tabulka hodin a předmětů pro 5.–10. ročník všeobecně vzdělávacího gymnázia
Miroslav Bartošek
RNDr. Miroslav Bartošek je absolventem Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy. Má dlouholetou praxi na odborných školách a gymnáziu. Deset let koordinoval česko-německý vzdělávací program realizovaný v Sasku. V letech 1992 až 1996 byl náměstkem ministra školství České republiky. Je autorem učebnic pro elektrotechnické školy. Nyní je externím pracovníkem Národního ústavu pro vzdělávání.
